Funzione inversa di y=senx

• Problema: Dato un numero b costruire gli angoli a tali che sen a = b.

a) b può essere un numero qualunque?
b) Quanti angoli sono soluzione del problema?
c) Quanti angoli, soluzione del problema, appartengono all'intervallo [0;2p]?

Risposta
a) b deve appartenere all'intervallo [-1,1]; infatti se non vi appartiene il problema non ha soluzione.
 

• Esercizio 5.1

Disegna dei vettori unitari la cui componente verticale è 0.4. Quanti ce ne sono?
Il seno degli angoli che tali vettori formano con l'asse x è 0.4?
Quale relazione c'è tra gli angoli che essi formano con l'asse x?

a 2 = 180° - a 1

• Esercizio 5.2

• Esercizio 5.3

Utilizzando la sinusoide determina graficamente quanti angoli hanno il seno uguale a 0.4.
 
• Esercizio 5.4

Utilizzando la sinusoide determina graficamente quanti angoli hanno il seno uguale a -0.6.

Osservazione
Possiamo costruire una funzione che ad ogni numero b Î [-1,1] fa corrispondere un angolo a tale che sen a = b.
Per definire correttamente una funzione occorre far corrispondere ad ogni b un solo angolo.
Vediamo cosa fa la calcolatrice. Inserisci il valore di b, poi pigia i seguenti tasti:
® . Se b = 0.4 cosa compare sul visore? Confronta tali valori con i risultati dell'esercizio 5.1. La calcolatrice ha scelto l'angolo che si trova tra 0° e 90°.
Se b = -0.6 cosa compare sul visore? Confronta con i risultati dell'esercizio 5.2. La calcolatrice ha scelto l'angolo compreso tra -90° e 0° .
In generale possiamo dire che la calcolatrice, tra tutti gli angoli possibili, ha fatto corrispondere sempre quello più vicino allo zero.
Ritorniamo al grafico
Notiamo che la funzione y = sen x nell'intervallo [-90°, 90°] è crescente. Se da un qualunque punto dell'asse y, avente ordinata compresa tra -1 e 1, tracciamo la parallela all'asse x, notiamo che incontra il tratto in grassetto una sola volta.

Ad ogni valore di b Î [-1,1] corrisponde un solo valore dell'angolo Î [-90°,90°], quindi la funzione y = sen x è invertibile nell'intervallo [-90°,90°].
Completa la seconda tabella scambiando la x con la y

Se trasformiamo i gradi in radianti, avendo scambiato i valori di x con quelli di y abbiamo ottenuto una funzione che chiamiamo y = arcsen x .
Essa è la funzione inversa di y = sen x.
La funzione y = arcsen x fa corrispondere ad un valore di x compreso tra -1 e 1 un valore di y compreso tra -p /2 e p /2 (estremi inclusi), ciò significa che y = arcsen x è definita nell'intervallo [-1,1] e ha per codominio [-p /2, p /2].
 
• Esercizio 5.5

Con l'uso della calcolatrice, pigiando i tasti opportuni, riempi i posti vuoti nel seguente schema:

60°	®	®
120°	®	®
240°	®	®
300°	®	®

• Esercizio 5.6

Di un angolo a hai queste informazioni: 0°< a < 90° e sen a = 0.866; determina a, usando la calcolatrice.
 

• Esercizio 5.7

Di un angolo a hai queste informazioni: 0°< a < 360° e sen a = 0.866; determina a, con l'aiuto della calcolatrice. Quanti valori di a hai trovato?
 

• Esercizio 5.8

Risolvi in (0°; 360°)

Calcolando per mezzo della calcolatrice  0.5 si ottiene 30° che appartiene all'intervallo (0°;360°) quindi 30° è una delle soluzioni richieste.
Confrontando quanto detto nell'esercizio 5.1. l'altra soluzione è 180°-30° cioè 150°; in generale se sen a >0

a1 = acalcolatrice                                                a2 = 180° - acalcolatrice

Calcolando per mezzo della calcolatrice arcsen (-0.8) si ottiene - 53° che non appartiene all'intervallo [0°;360°).
Sfruttando la periodicità della funzione y = sen x una soluzione è data da 360° + (-53°) = 307°. L'altra soluzione è data da 180° - ( - 53° ) = 233°.
In generale se sen a < 0

• Esercizio 5.9

a è un angolo di un triangolo acutangolo, sapendo che sen a = 0.85 determina a.
 
• Esercizio 5.10

a è l'angolo maggiore di un triangolo ottusangolo, sapendo che sen a = 0.9, determina a.
 

• Esercizio 5.11

a è un angolo di un triangolo, sapendo che sen a = 0.7, determina a.
 

• Esercizio 5.12

a, b , g sono angoli di un triangolo:
a) se sen a = 0.5, b = 100°, determina a
b) se g è acuto, sen a = 0.5, sen b = 0.71 determina a e b
c) sen a = 0.5 , sen b= 0.5, sen g= 0.866, determina a, b , g
d) se sen a = 0.94, sen b = 0.77, determina a, b , g
e) se sen a = 0.94, sen b = 0.77, sen g= 0.34, determina a, b , g
f) se sen a = 0.94, sen b = 0.77, sen g = 0.866, determina a, b , g

• Problema: Dato un numero b costruire gli angoli a tali che cosa = b.

• Esercizio 6.1

• Esercizio 6.2

 
 
• Esercizio 6.3

Utilizzando la cosinusoide determina graficamente quanti angoli hanno il coseno uguale a 0.3.

• Esercizio 6.4

Se trasformiamo i gradi in radianti, avendo scambiato i valori di x con quelli di y abbiamo ottenuto una funzione che chiamiamo y = arccos x .
Essa è la funzione inversa di y = cos x.
La funzione y = arccos x fa corrispondere ad un valore di x compreso tra -1 e 1 un valore di y compreso tra 0 e p (estremi inclusi); ciò significa che y = arccos x è definita nell'intervallo [-1,1] e ha per codominio [0,p ].
 
• Esercizio 6.5

Con l'uso della calcolatrice, pigiando i tasti opportuni, riempi i posti vuoti nel seguente schema:

60°	®	®
120°	®	®
240°	®	®
300°	®	®

• Esercizio 6.6

Di un angolo a hai queste informazioni: 0°<a< 90° e cos a = 0.866; determina a.

• Esercizio 6.7

Di un angolo a hai queste informazioni: 0°< a < 360° e cos a = 0.866; determina a. Quanti valori di a hai trovato?
 

• Esercizio 6.8

Risolvi in (0°; 360°)

Calcolando per mezzo della calcolatrice  0.5 si ottiene 60° che appartiene all'intervallo [0°;360°), quindi 60° è una delle soluzioni richieste .
Confrontando quanto detto nell'esercizio 6.1, l'altra soluzione è 360°-60° cioè 300°.
Calcolando per mezzo della calcolatrice  (-0.7) si ottiene 134°. L'altra soluzione è data da 360° - 134° = 226°. Quindi

• Esercizio 6.9

Le rette parallele all'asse x incontrano il grafico di y = tanx in infiniti punti.

• Esercizio 8.1

Restringi il dominio della y = tanx in modo da poter invertire la funzione.
Quale dominio hai scelto? I matematici scelgono come dominio ristretto l'intervallo (-90°;90).
 
• Esercizio 8.2

Trasformiamo i gradi in radianti. La funzione inversa di y = tanx si chiama y = arctanx, ha dominio (-¥ ;+¥ ) e codominio (-p /2;p /2).
A partire dalla tabella dell'esercizio 7.5 compila una tabella relativa alla funzione y = arctanx e rappresentala graficamente.

• Area di un triangolo.

quindi A = 1/2 b a sen g
Quindi possiamo dire che: A = 1/2 a b sen g , dove a e b sono le misure di due lati e g è la misura dell'angolo compreso.
 
• Esercizio 12.1

Scrivi le formule analoghe per l'area riferendole a tutte le coppie possibili di lati.
 

• Teorema dei seni.

In base alle formule precedenti si può scrivere:

1/2 a b sen g=1/2 b c sen a = 1/2 c a sen b dividendo tutti i membri per 1/2 a b c si ottiene:

(Possiamo invertire perché a, b , g sono angoli il cui seno è diverso da 0).
Si può quindi dire che: in ogni triangolo i lati sono direttamente proporzionali al seno dell'angolo opposto.
Questo è il Teorema dei seni.

Possiamo scrivere le uguaglianze precedenti nel seguente modo:

1) a : sen a = b : sen b
2) a : sen a = c : sen g
3) b : sen b = c : sen g Se di una proporzione conosciamo tre elementi possiamo determinarne il quarto. Ad esempio se conosciamo b , c e g , usando la 3) determiniamo b:

• Esercizio 12.2

Come avrai notato ci sono infiniti triangoli (simili tra loro) soddisfacenti le condizioni del caso 5 se a + b + g = 180°.
I casi 2 e 3 non possono essere risolti col solo teorema dei seni, è necessario un altro teorema: il teorema del coseno.
 
• Teorema del coseno, o di Carnot, o di Pitagora generalizzato.

In un triangolo vale l'uguaglianza:

a² = b² + c² - 2bc cosa

Si possono presentare i seguenti casi:

• Caso 1) Consideriamo il caso in cui l'altezza CH cade internamente ad AB.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB si ha :

sostituendo in (*) si ottiene:

a² = (b sena)² + (c - b cosa)²
a² = b²sen²a + c² + b²cos²a - 2bc cosa
a² = b²(sen²a + cos²a) + c² - 2bc cosa
poiché sen²a + cos²a = 1 si ottiene
a² = b² + c² - 2bc cosa
 

• Caso 2) Consideriamo il caso in cui l'altezza cade esternamente ad AB. Analogamente si ha:

 
sostituendo in (*) si ha la relazione:
a² = (b sen a)² + (c - b cos a)² cioè
a² = b² + c² - 2bc cosa
 
• Caso 3) Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ottiene

ma poiché a = 90° cosa =0, quindi è soddisfatta anche l'uguaglianza del teorema del coseno.
Osservazione: La formula: a² = b² + c² - 2bc cosa permette di ricavare il quadrato di a in funzione di b, c e dell'angolo opposto ad a.
 
• Esercizio 12.4

Scrivi le formule analoghe relative ai lati b e c.
A cosa serve il teorema di Carnot.

• Noti due lati e l'angolo tra essi compreso permette di calcolare il terzo lato (vedi caso 3 dell'es. 12.2).
• Noti i tre lati permette di trovare il coseno dell'angolo (e quindi l'angolo) (vedi caso 2 dell'es. 12.2).


Osservazione:

Il teorema dei seni e il teorema di Carnot ci permettono di risolvere qualsiasi triangolo noti tre elementi di cui uno almeno sia un lato.
 

• Esercizio 12.5

In un triangolo un lato misura 10 cm, gli angoli ad esso adiacenti misurano 50° e 60°. Determina il terzo angolo e gli altri due lati.
 
• Esercizio 12.6

In un triangolo due lati misurano 10 cm e 15 cm e l'angolo tra di essi compreso misura 105°. Determina perimetro e area del triangolo.
 
• Esercizio 12.7

Determina l'ampiezza degli angoli di un triangolo avente lati di 10 cm, 12 cm, 14 cm.
 

• Esercizio 12.8

Determina l'ampiezza degli angoli di un triangolo avente i lati di 25 cm, 12 cm e 18 cm.
1° modo) Usa soltanto il teorema del coseno.
2° modo) Usa il teorema del coseno relativo all'angolo minore (cioè compreso tra i lati di 25 e 18 cm) e successivamente il teorema dei seni.
Confronta i risultati ottenuti.

Osservazione:
Strategia Vincente: conoscendo i tre lati di un triangolo conviene innanzitutto determinare l'angolo maggiore col teorema del coseno e gli altri angoli col metodo che vuoi.
 

• Esercizio 12.9

Determina l'ampiezza degli angoli di un triangolo avente i lati di 5 cm, 6 cm e 15 cm. Segui la strategia vincente.

Osservazione:
Ti sarai accorto che cos a è un numero minore di -1. Ciò non è possibile. Il triangolo non esiste, infatti la somma di due lati è minore del terzo.
 

• Esercizio 12.10

In un triangolo due lati misurano 11 cm, e 10 cm e l'angolo opposto al maggiore misura 55°, determina l'altro lato e gli angoli.

Osservazione:
Se di un triangolo si conoscono due lati e l'angolo opposto al maggiore il triangolo è sempre risolubile e in un sol modo.
 

• Esercizio 12.11

In un triangolo due lati misurano rispettivamente 11 cm e 10 cm e l'angolo opposto al lato minore misura 55 , determina l'altro lato e gli angoli.
 

• Esercizio 12.12

In un triangolo due lati misurano rispettivamente 11 cm e 10 cm e l'angolo opposto al lato minore misura 80°. Determina l'altro lato e gli altri angoli.
 

• Esercizio 12.13

In un triangolo due lati misurano rispettivamente 37 cm e 35 cm e l'angolo opposto al lato minore misura 71°. Determina l'altro lato e gli altri angoli.

Osservazioni:
Se di un triangolo conosciamo due lati e l'angolo opposto al minore, per risolvere il triangolo possono presentarsi due casi:

a) Il problema ammette due soluzioni (vedi esercizio 12.11)
b) Il problema non ammette soluzione (vedi esercizio 12.12)
c) Il problema ha una sola soluzione e in questo caso l'angolo opposto al lato maggiore è retto.(vedi esercizio 12.13)

Se esaminiamo gli esercizi in cui esiste una sola soluzione possiamo ricordare che due triangoli sono uguali se